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quarta-feira, 21 de outubro de 2009

QUESTÃO 89 DO ENEM 2009 RESOLVIDA E COMENTADA

O Weverton pediu e estou postando a resolução da questão 89 da prova do ENEM 2009 que seria realizada no dia 4 de outubro

DOIS HOLOFOTES IGUAIS , SITUADOS EM H1 E H2 , RESPECTIVAMENTE, ILUMINAM REGIÕES CIRCULARES, AMBAS DE RAIO "R". ESSAS REGIÕES SE SOBREPÕEM E DETERMINAM UMA REGIÃO "S" DE MAIOR INTENSIDADE LUMINOSA COMFORME A FIGURA.















(1) Vamos analisar a figura da seguinte forma:

figura 1


Do ponto B ao ponto C temos o raio , do ponto C ao ponto E, temos o mesmo raio e do ponto E ao ponto B, temos o mesmo raio.Logo o triângulo BCE e o triângulo BCF é equilátero (todos os lados e todos os ângulos congruentes).


(2) Vamos analisar a figura da seguinte forma:


figura 2


Analisando os pontos ECF vemos um setor circular


(3) Vamos analisar a figura da seguinte forma:


figura 3

Após essas 3 análises concluímos que:



a) A área S pedida poderá ser calculada por:
S = área dos triângulos equiláteros (BEC e BFC) + área pintada de verde na figura 3



b) A área verde da figura 3 poderá ser calculada da seguinte forma:
área pintada de verde =  2 [área do setor circular ECF menos área dos triângulos equiláteros (BEC e BFC)]



Observe que temos 4 pequenas áreas idênticas pintadas de verde na figura 3,então área do setor circular ECF menos a área dos dois triângulos equiláteros (BEC e BFC)  nos dá apenas a área de duas partes verdes, necessitando assim de multiplicarmos por dois para encontramos as 4 áreas verdes.Veja o esquema:






APÓS A DEVIDA INTERPRETAÇÃO VAMOS AOS CÁLCULOS:


Os triângulos BCE como o BFC tem a mesma área.Sendo eles equláteros, obrigatoriamente:


(1) todos os lados são congruentes
(2) todos os ângulos são congruentes



Uma vez que o lado desse triãngulo é R ,temos:



Logo, a fórmula da "letra b" ficará assim:





Todo triângulo equilátero possui seus ângulos congruentes e iguais a 60 graus, observe a figura abaixo:






A área verde ficará assim:

Simplicando e organizando tudo ,temos

 
Aplicando a fórmula deduzida na "letra a" ficará assim:

  
Lembrando que o ângulo 120° deve ser dado em radianos  (pois o enunciando diz isso) ,temos:
















Simplificando e organizando tudo:

LETRA A


UFFFFAAA!!!!    FINALMENTE A RESPOSTA
PROFESSOR ANDERSON VALADARES
BOM RACIOCÍNIO

10 Comentários:

Adson disse...

muito legal a resolução da questão 89! gostaria q a questão 68 tb foc resolvida! ;D
se não muito encomodo qndo pronta enviar o linck pro email NOSDA_ADSON@HOTMAIL.COM! vlw

Anônimo disse...

Excelente!!

Anônimo disse...

Olá, gostaria de saber como se resolve as questões 72,76,77,78,84,86,89,90 obrigada...

Professor Valadares disse...

Em breve estarei postando essas resoluções 72,76,77,78,84,86,89,90.
Mas a questão 89 já está resolvida. Dá uma olhadinha.
Abração!!

Anônimo disse...

bah, não entendi muito bem o final, ali na simplicação, mas muito boa essa questão, bem pensada...

Anônimo disse...

Esta questão 89 menos de 1% iria resolver, muito cansativa.

Anônimo disse...

Não há duvidas do bom raciocionio usado na resolução. Porem acho mais fácil se pensarmos que: Área de 1 setor circular - área de 1 triangulo equilatero = a metade da area S ,bastando multiplicar a resposta por dois.

com desenho fica mais fácil entender :p

André disse...

ou melhor, no desenho ficaria:

área do setor formado por CEBF - a área do triangulo ECF = S/2

lembrando apenas que a area do triangulo ECF eh a soma dos dois triangulos equilateros dividido por 2.

ahrounwarrior disse...

To ferrado! =///

JUBS disse...

Muito obrigada pela ajuda, professor!

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