O retorno de um matemático

Muito trabalho nesse 1º semestre de 2009 (graças a DEUS)... por isso peço desculpas pelo não atendimento a pedidos de resoluções de questões e de provas, mas agora tudo volta ao normal!
Tentarei estar por aqui, com novidades, pelo menos uma vez por semana.
E para aquecer os ânimos do pessoal que está "tentanto" vestibular nas federais aqui da nossa cidade, trago a resolução comentada por mim, de uma questão muito interessante da COVEST de 2ª fase ano de 2009 .


(COVEST- 2ª FASE - 2009) SABENDO QUE 1 + i É UMA DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO x³ - 2x +a = 0, com "a" real , indique o valor de "a'


Resolução:

Analisando x³ - 2x +a = 0 com atenção comparativa é fácil notar que , tratando essa equação como um polinômio do 3º grau, o que é perfeitamente possível, ela está "incompleta".

(não esqueça: tudo que possuir igualdade chama-se equação)

Para relembrar esse conceito ,observe o seguinte:
Um polinômio (ou função polinomial) do 2º grau deve ser do tipo: ax² + bx + c = P(x)
Um polinômio (ou função polinomial) do 3º grau deve ser do tipo: ax³ + bx² + cx + d = P(x)
E assim por diante....

Facilmente é notado que ax³ + bx² + cx + d = P(x) em relação a x³ - 2x +a = 0 tem:
a = 1
b = 0
c = -2
d = a
P(x) = 0

Analisando a raiz 1 + i ,lembrando que i² = -1 (números complexos) , tem-se uma propriedade importantíssima:
Se um número complexo é raiz de uma equação, obrigatoriamente, o seu conjugado também será raiz da equação.
(lemre-se o conjugado de um número complexo z = m + ni é m - ni (troca-se o sinal da parte que multiplica 'i" , no nosso caso o "n" que é chamado de parte imaginária.

Neste caso temos duas raízes econtradas uma é 1 + i e a outra é 1 - i .

Analisando as relações de GIRARD, ecnontramos uma que nos ajudará a desvendar essa questão, ela diz assim:
A somas das raízes , uma a uma , de um polinômio pode ser encontrada por -b/a.

Agora estamos perto do final e para que não fique dúvidas de onde veio esse "b" e de onde veio esse "a" analise clicando aqui esse resumo, com ótimo nível, muito bem elaborado.

Lembremo-nos agora do polinômio em questão o tal x³ - 2x +a = 0 e com um pouco de visão conseguiremos ver o 3 , como maior expoente, em cima da incógnita o que nos diz que esse polinômio é do 3º grau , logo possui 3 raízes.

a primeira raiz é 1 + i
a segunda raiz é 1 - i
e a terceira raiz é desconhecida é será denominada de y.

pela relaeção de Girard, exposta acima , temos a soma das raízes iguais a -b/a , logo

1 + i + 1 - i + y = -b/a
2 + y = -0/1
y = - 2 ( -2 também é uma raiz)

pelo conceito do que é uma raiz , ou seja , o número que substituído na incógnita do polinômio ou função zera a mesma, temos:

x³ - 2x +a = 0
(-2)³ - 2.(-2) + a = 0
-8 + 4 + a = 0
-4 + a = 0
a= 4

resposta final:
O valor procurado para "a" em x³ - 2x +a = 0 é 4.


Comentários:
Mais uma vez a COVEST traz uma questão de bom nível de raciocínio para 2ª fase e que exigiu dos candidatos um pleno domÍnio do conteúdo em nível médio de raciocínio.
PARABÉNS aos que acertaram essa questão.

Professor ANDERSON VALADARES

NÚMEROS COMPLEXOS - PARTE I

Introdução

Para se aplicar o conceito de Conjunto Universo (também conhecido como Domínio), ou seja, o conjunto no qual podemos buscar as soluções (o tão procurado valor da incógnita) para um determinado problema, função, equação ou inequação, é imprescindível ter em mente a “lei” que rege cada conjunto numérico. Por exemplo:

O conjunto dos números naturais foi criado inicialmente para determinar contagens inteiras ou nulas e a “lei” que rege esse conjunto é a seguinte progressão:

N = {0, 1, 2, 3,..}

Podemos ter 0 elementos em uma contagem , podemos ter 1 elemento em uma contagem, podemos ter 1000 ou infinitos elementos.

No entanto, o processo de contagem, nesse caso, simplesmente é a soma de unidade a unidade ou subtrações , divisões multiplicações em que o resultado é sempre positivo, inteiro ou nulo. Quando nos deparamos com uma subtração em que o resultado é negativo esse conjunto (tal como conjunto universo) não é mais suficiente.

Para que a subtração fosse sempre possível, ele foi estendido e obtivemos o conjunto dos números inteiros:

Z = {... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1, 2 , 3, ...}

Mesmo assim, nesse caso, ainda teríamos um problema , que seria as divisões não exatas. Para que também a divisão fosse possível, estendemos este último e obtivemos o conjunto dos números racionais, que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros:

Q = {Para simplificar apenas diremos que faz parte desse conjunto todos os números que podem ser colocados em forma de fração em que o numerador e denominador (diferente de zero) sejam inteiros}

A jornada não acabou, pois ainda existem alguns números que não podem ser encaixados nas leis descritas acima, por exemplo, em Q (a expressão “em Q” significa que Q seria o Conjunto Universo) a equação x² = 2 não pode ser resolvida, ou seja, as soluções x = √2 e x = -√2 não podem ser representadas por uma fração em que o numerador e denominador sejam inteiros. Surge então o conjunto dos números irracionais do qual fazem parte as raízes não exatas, os decimais não exatos e as dízimas não-periódicas.

É fácil notar que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros que está contido no conjunto dos números racionais, porém nenhum deles está contido no conjunto dos números irracionais.

Da união desses conjuntos (racionais e irracionais) surge o conjunto dos números REAIS.

Por fim, o último problema seria o de resolver a equação

x² + 1 = 0

x² = -1

x = +√-1 ou -√-1

Pois não existe um número real x que elevado ao quadrado resulte -1.Por isso , temos de estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto chamado de conjunto dos números complexos.

Vença os obstáculos

Para se alcançar grandes conquistas é necessário, muitas vezes, abrir mãos de muitas coisas.Não podemos querer ser aprovados no curso que sonhamos sem dedicação e perseverança.

Não desista, esforce-se e tenha ânimo, vença os obstáculos.
Você vai conseguir!