O retorno de um matemático

Muito trabalho nesse 1º semestre de 2009 (graças a DEUS)... por isso peço desculpas pelo não atendimento a pedidos de resoluções de questões e de provas, mas agora tudo volta ao normal!
Tentarei estar por aqui, com novidades, pelo menos uma vez por semana.
E para aquecer os ânimos do pessoal que está "tentanto" vestibular nas federais aqui da nossa cidade, trago a resolução comentada por mim, de uma questão muito interessante da COVEST de 2ª fase ano de 2009 .


(COVEST- 2ª FASE - 2009) SABENDO QUE 1 + i É UMA DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO x³ - 2x +a = 0, com "a" real , indique o valor de "a'


Resolução:

Analisando x³ - 2x +a = 0 com atenção comparativa é fácil notar que , tratando essa equação como um polinômio do 3º grau, o que é perfeitamente possível, ela está "incompleta".

(não esqueça: tudo que possuir igualdade chama-se equação)

Para relembrar esse conceito ,observe o seguinte:
Um polinômio (ou função polinomial) do 2º grau deve ser do tipo: ax² + bx + c = P(x)
Um polinômio (ou função polinomial) do 3º grau deve ser do tipo: ax³ + bx² + cx + d = P(x)
E assim por diante....

Facilmente é notado que ax³ + bx² + cx + d = P(x) em relação a x³ - 2x +a = 0 tem:
a = 1
b = 0
c = -2
d = a
P(x) = 0

Analisando a raiz 1 + i ,lembrando que i² = -1 (números complexos) , tem-se uma propriedade importantíssima:
Se um número complexo é raiz de uma equação, obrigatoriamente, o seu conjugado também será raiz da equação.
(lemre-se o conjugado de um número complexo z = m + ni é m - ni (troca-se o sinal da parte que multiplica 'i" , no nosso caso o "n" que é chamado de parte imaginária.

Neste caso temos duas raízes econtradas uma é 1 + i e a outra é 1 - i .

Analisando as relações de GIRARD, ecnontramos uma que nos ajudará a desvendar essa questão, ela diz assim:
A somas das raízes , uma a uma , de um polinômio pode ser encontrada por -b/a.

Agora estamos perto do final e para que não fique dúvidas de onde veio esse "b" e de onde veio esse "a" analise clicando aqui esse resumo, com ótimo nível, muito bem elaborado.

Lembremo-nos agora do polinômio em questão o tal x³ - 2x +a = 0 e com um pouco de visão conseguiremos ver o 3 , como maior expoente, em cima da incógnita o que nos diz que esse polinômio é do 3º grau , logo possui 3 raízes.

a primeira raiz é 1 + i
a segunda raiz é 1 - i
e a terceira raiz é desconhecida é será denominada de y.

pela relaeção de Girard, exposta acima , temos a soma das raízes iguais a -b/a , logo

1 + i + 1 - i + y = -b/a
2 + y = -0/1
y = - 2 ( -2 também é uma raiz)

pelo conceito do que é uma raiz , ou seja , o número que substituído na incógnita do polinômio ou função zera a mesma, temos:

x³ - 2x +a = 0
(-2)³ - 2.(-2) + a = 0
-8 + 4 + a = 0
-4 + a = 0
a= 4

resposta final:
O valor procurado para "a" em x³ - 2x +a = 0 é 4.


Comentários:
Mais uma vez a COVEST traz uma questão de bom nível de raciocínio para 2ª fase e que exigiu dos candidatos um pleno domÍnio do conteúdo em nível médio de raciocínio.
PARABÉNS aos que acertaram essa questão.

Professor ANDERSON VALADARES