NÚMEROS COMPLEXOS - PARTE I

Introdução

Para se aplicar o conceito de Conjunto Universo (também conhecido como Domínio), ou seja, o conjunto no qual podemos buscar as soluções (o tão procurado valor da incógnita) para um determinado problema, função, equação ou inequação, é imprescindível ter em mente a “lei” que rege cada conjunto numérico. Por exemplo:

O conjunto dos números naturais foi criado inicialmente para determinar contagens inteiras ou nulas e a “lei” que rege esse conjunto é a seguinte progressão:

N = {0, 1, 2, 3,..}

Podemos ter 0 elementos em uma contagem , podemos ter 1 elemento em uma contagem, podemos ter 1000 ou infinitos elementos.

No entanto, o processo de contagem, nesse caso, simplesmente é a soma de unidade a unidade ou subtrações , divisões multiplicações em que o resultado é sempre positivo, inteiro ou nulo. Quando nos deparamos com uma subtração em que o resultado é negativo esse conjunto (tal como conjunto universo) não é mais suficiente.

Para que a subtração fosse sempre possível, ele foi estendido e obtivemos o conjunto dos números inteiros:

Z = {... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1, 2 , 3, ...}

Mesmo assim, nesse caso, ainda teríamos um problema , que seria as divisões não exatas. Para que também a divisão fosse possível, estendemos este último e obtivemos o conjunto dos números racionais, que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros:

Q = {Para simplificar apenas diremos que faz parte desse conjunto todos os números que podem ser colocados em forma de fração em que o numerador e denominador (diferente de zero) sejam inteiros}

A jornada não acabou, pois ainda existem alguns números que não podem ser encaixados nas leis descritas acima, por exemplo, em Q (a expressão “em Q” significa que Q seria o Conjunto Universo) a equação x² = 2 não pode ser resolvida, ou seja, as soluções x = √2 e x = -√2 não podem ser representadas por uma fração em que o numerador e denominador sejam inteiros. Surge então o conjunto dos números irracionais do qual fazem parte as raízes não exatas, os decimais não exatos e as dízimas não-periódicas.

É fácil notar que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros que está contido no conjunto dos números racionais, porém nenhum deles está contido no conjunto dos números irracionais.

Da união desses conjuntos (racionais e irracionais) surge o conjunto dos números REAIS.

Por fim, o último problema seria o de resolver a equação

x² + 1 = 0

x² = -1

x = +√-1 ou -√-1

Pois não existe um número real x que elevado ao quadrado resulte -1.Por isso , temos de estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto chamado de conjunto dos números complexos.